Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Unter dem Logarithmus $c$ einer positiven reellen Zahl $a$ zu einer positiven reellen Basis $b\ne 1$ versteht man diejenige Zahl $c$,
mit der die Basis $b$ zu potenzieren ist, um $a$ zu erhalten:
D.h. $b$ hoch was ergibt $a$?
$$c=\log_b(a)\iff b^c=a;\qquad a>0, b>0, b\ne 1, c\mbox{ beliebig}$$
Spezielle Logarithmen:
| Basis | Symbol | Name |
|---|---|---|
| Basis $e$: | $\ln(x)=\log_e(x)$ | natürlicher Logarithmus - Logarithmus naturalis |
| Basis $10$: | $\lg(x)=\log(x)=\log_{10}(x)$ | dekadischer Logarithmus |
| Basis $2$: | ${\rm ld}\;(x)=\log_{2}(x)$ | Logarithmus dualis |
Einfache Beispiele:
\begin{align*}
\log_2(4)&=2 && \text{denn} &2^2&=4\\
\log_{10}(1000)&=3 && \text{denn} &10^3&=1000\\
\log_{10}(0,1)&=-1 && \text{denn} &10^{-1}&=\frac{1}{10}=0,1\\
\log_3(27)&=3&& \text{denn} &3^3&=27\\
\log_4(2)&=\frac{1}{2}&& \text{denn} &4^{\frac{1}{2}}&=\sqrt{4}=2
\end{align*}
Insbesondere gilt:
$$e^{\ln(x)}= x\quad \mbox{und }\quad \ln(e^x) = x\quad \ln(1) = 0$$
Graphische Darstellung - alle Graphen gehen durch den Punkt (1;0)
Logarithmusgesetze - gelten für beliebige Basen $b$:
\begin{align*}
\log_b(1) &= 0\\
\log_b(x\cdot y)&= \log_b(x)+\log_b(y)\\
\log_b\left(\frac{x}{y}\right)&=\log_b(x)- \log_b(y)\\
\log_b (x^a)&= a\log_b(x)
\end{align*}
D.h. insbesondere:
$$\log_b (x^2) = 2\log_b(x)\quad \mbox{und}\quad \frac{1}{2}\log_b(x) =
\log_b(\sqrt{x})\quad \mbox{und}\quad -\log_b(x)=\log_b(x^{-1})=\log_b{\left(\frac{1}{x}\right)}
$$
Achtung:
$$
\log_b(x^2)\ne (\log_b(x))^2:\quad\log_b(x^2)=2\log_b(x)=\log_b(x)+\log_b(x)\quad\text{aber}\quad(\log_b(x))^2=\log_b(x)\cdot\log_b(x)=\log_b^2(x)
$$
Der letzte Ausdruck ist nur eine vereinfachte Schreibweise, um sich die Klammern zu sparen.
Umrechnung der Logarithmen ineinander:
$$\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}=\frac{\lg(x)}{\lg(b)}=\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$$
Beispiel zur Anwendung der Logarithmengesetze:
\begin{eqnarray*}
\lg\left(\frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2}\right)&=&\lg(a^2-b^2)-\lg(a^2+b^2)^2\\
&=&\lg(a^2-b^2)-2\lg(a^2+b^2)\\
&=&\lg(a+b)+\lg(a-b)-2\lg(a^2+b^2)\\
\end{eqnarray*}
Die erste Zeile ist für alle $a,b$ mit $a^2>b^2$ (also
auch für $a=-2$ und $b=1$) definiert.
Aber in der letzten Zeile muss zusätzlich
$a+b>0\iff a>-b$ und
$a-b>0\iff a>b$, d.h $a>|b|$ gelten.
Anwendung:
Die Lautstärke wird in dB (Dezibel) auf einer logarithmischen Skala gemessen,
wobei eine Anhebung des dB-Wertes um 10dB einer Verstärkung um den Faktor 10 entspricht.
Der Hersteller einer Gehörschutzwatte gibt für sein Produkt eine Schalldämpfung
um 27 dB an. Um welchen Faktor dämpft die Watte die Lautstärke?
Die verschiedenen Logarithmen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor. Daher
kann man mit einer beliebigen Logarithmusfunktion, beispielsweise dem dekadischen arbeiten.
Einer Lautstärke $y$ entspricht dann der dB-Wert $x=c\lg y$. Nach obigen Angaben hat
dann die 10 fache Lautstärke, also $10y$ einen dB Wert von $x+10=c\lg(10y)$.
$$x+10=c\lg(10 y)=c(\lg(10) +\lg(y))=c\lg(10)+c\lg(y)=c\lg(10)+x = c+x\Rightarrow c=10$$
Eine Dämpfung um 27 dB bedeutet eine Verstärkung um -27 dB. $\lambda$ sei der gesuchte Faktor,
dann gilt:
$$x-27=c\lg(\lambda y)=c\lg \lambda +c\lg(y)=c\lg(\lambda) +x\Rightarrow -27=c\lg(\lambda) =10\lg(\lambda)\Rightarrow \lambda = 10^{-2,7}\approx\frac{1}{501}$$
Die Watte dämpft also die Lautstärke auf etwa $\frac{1}{500}$.
In diesem Beispiel hätte man mit jedem beliebigen Logarithmus arbeiten können, für
$c$ hätten sich unterschiedliche Werte ergeben, für $\lambda$ erhält man aber immer das gleiche Ergebnis.
Zu den Übungsaufgaben.