Streckung Stauchung von Funktionen:
Eine Funktion $y= f(x)$ wird durch Multiplikation mit dem Formfaktor a
Beispiel: Die Normalparabel $y=a\cdot x^2$
Betrachten Sie dazu auch folgendes Applet
Verschiebung entlang der x-Achse
Die Funktion $y = f(x)$ wird entlang der x-Achse verschoben, wenn man $x$ durch $x-x_0$ ersetzt: $y = f(x-x_0)$.
Hierbei gilt:
Beispiel: Die Normalparabel $y = f(x-x_0)$
Betrachten Sie dazu auch folgendes Applet
Verschiebung entlang der y-Achse
Die Funktion $y = f(x)$ wird entlang der y-Achse verschoben, wenn ein Term $y_0$ zu der Funktion addiert wird: $y = f(x) + y_0 $.
Hierbei gilt:
Beispiel: Die Normalparabel $y= x^2 + y_0$
Betrachten Sie dazu auch folgendes Applet
Die Kombination beider Parameter kann man für den Fall einer Parabel $f(x)=(x+a)^2+b$ hier sehen.
Spiegelung an x-Achse und y-Achse:
Spiegelung an der x-Achse:
$f(x) = -f(x)$
Spiegelung an der y-Achse:
$f(x) = f(-x)$
Allgemeine quadratische Funktion:
$f(x) = ax^2 + bx + c$
Scheitelpunktform:
$f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a}+c$
Beispiel:
\begin{eqnarray*}
y&=&2x^2+2x-4 = 2(x-1)(x+2)\\
&=& 2(x^2+x-2)\\
&=&2\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-2\right]\\
&=&2\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right]\\
&=&2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{2}
\end{eqnarray*}
Die Funktion wird also um$\frac{1}{2}$ nach links verschoben, mit Faktor 2 gestreckt und um $\frac{9}{2}$ nach unten verschoben.
Auch das kann an einem Applet überprüft werden.
Verkettung von Funktionen:
Ist für $x\in D$ eine Funktion $z=g(x)$ mit dem Wertebereich $W$ gegeben und ferner für "$z\in W$
eine Funktion $y=f(z)$, dann heißt
$y=f(g(x)), \quad x \in D$
mittelbare (oder verkette) Funktion. Andere Schreibweise: $y=(f\circ g)(x)$
Beispiele:
\begin{eqnarray*}
y&=&\sin(x^2)\Rightarrow z=x^2\quad\mbox{und}\quad y=\sin z\\
y&=&(\sin x)^2\Rightarrow z=\sin x\quad\mbox{und}\quad y= z^2\\
y&=&e^{2x+4}\Rightarrow z=2x+4\quad\mbox{und}\quad y= e^z
\end{eqnarray*}
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