6 Vektorrechnung

Kapitelübersicht:

6.1 Definitionen und einfache Rechenregeln
6.2 Koordinatendarstellung eines Vektors
6.3 Skalarprodukt
6.4 Geradengleichungen
6.5 Kreisgleichung
6.6 Übungen


6.1 Definitionen und einfache Rechenregeln

Vektoren:
Ein Vektor ist eine gerichtete und orientierte Strecke im Raum (oder in der Ebene). Er wird eindeutig durch drei Größen bestimmt: Richtung, Orientierung und Länge.
Größen, die durch eine einzige reelle Zahl charakterisiert werden, heißen skalare Größen. Beispiele sind Temperatur, Arbeit, Masse und Energie. Beispiele für Vektoren sind Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, elektrische und magnetische Feldstärke.


Bezeichnung:
$\vec{a}, \vec{b},\ldots$ oder $\vec{PQ}$, dann ist $P$ der Anfangspunkt (Fußpunkt) und $Q$ der Endpunkt (Spitze).


Eigenschaften:
Der Betrag eines Vektors ist seine Länge: $\|\vec{a}\|$ (manchmal auch $|\vec{a}|$). Der Betrag ist immer größer oder gleich Null.
Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind gleich $\vec{a}=\vec{b}$, wenn sie gleichen Betrag, gleiche Richtung und gleiche Orientierung haben.
Dabei wird keine Aussage über den Anfangspunkt der Vektoren getroffen. Vektoren dürfen also frei im Raum verschoben werden. Gleiche Vektoren gehen durch Parallelverschiebung ineinander über.


Spezielle Vektoren:
Nullvektor - Länge 0 und unbestimmte Richtung - Bezeichnung $\vec{0}$
Einheitsvektoren - Alle Vektoren der Länge 1 - Bezeichnung $\vec{e}$ mit $\|\vec{e}\|=1$


Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar):
Es sei $\vec{a}$ ein Vektor und $\lambda$ eine reelle Zahl $\lambda \in \mathbb{R}$, $\lambda \ne 0$. Dann ist $\lambda \vec{a}$:

  • der Vektor mit der Länge $\|\lambda \vec{a}\|=|\lambda|\cdot \|\vec{a}\|$ und
  • der gleichen Richtung wie der Vektor $\vec{a}$.
  • Für $\lambda > 0 $ haben $\lambda \vec{a}$ und $\vec{a}$ die gleiche Orientierung ($\vec{a}\uparrow\uparrow \lambda\vec{a}$ - parallel.) Für $\lambda < 0 $ haben die beiden Vektoren entgegengesetzte Orientierung. ($\vec{a}\uparrow\downarrow \lambda\vec{a}$ - antiparallel).
  • $\lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad 0\cdot \vec{a}=\vec{0}$ (Nullvektor).

    • Für $\lambda =-1$ erhält man den gleichen Vektor nur mit der entgegengesetzten Orientierung.

    Beispiel Vektoren


    Vektoraddition:
    Gegeben seien zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Dann wird der Vektor $\vec{a}+\vec{b}$ folgendermaßen konstruiert:

  • Verschiebe $\vec{b}$, so dass der Endpunkt von $\vec{a}$ (Spitze) mit dem Anfangspunkt (Fußpunkt) von $\vec{b}$ zusammenfällt.
  • Der Vektor $\vec{a}+\vec{b}$ ist dann der Vektor vom Anfangspunkt von $\vec{a}$ zum Endpunkt von $\vec{b}$.
    • Vektoraddition


    Vektorsubtraktion:
    Gegeben seien zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Dann wird der Vektor $\vec{a}-\vec{b}$ folgendermaßen definiert:
    $$\vec{a}-\vec{b}:=\vec{a}+(-1)\cdot\vec{b}$$
    Legt man die Anfangspunkte von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ übereinander, dann ist $\vec{a}-\vec{b}$ der Vektor von der Spitze von $\vec{b}$ zur Spitze von $\vec{a}$.
    Vektorensubtraktion


    Eigenschaften von Addition und skalarer Mulitplikation:

    \begin{align*} \vec{a}+\vec{b} &= \vec{b}+\vec{a}\tag{Kommutativgesetz}\\ \vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) &= (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}\tag{Assoziativgesetz}\\ \lambda(\vec{a}+\vec{b}) &= \lambda\vec{a}+\lambda\vec{b} \qquad(\lambda\in\mathbb{R})\tag{Distributivgesetz} \end{align*}


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