5 Funktionen
Kapitelübersicht:
5.1 Allgemeines
5.2 Umkehrfunktion
5.3 Differenzieren
5.4 Integrieren
5.5 Übungen
5.2 Die Umkehrfunktion
Umkehrfunktion:
Sei $y=f(x),\quad x\in D,\quad y\in W$ eine eindeutige Funktion (d.h. zu jedem Bildpunkt $y\in W_f$ gehört genau ein Urbildpunkt $x$ mit $y=f(x)$.
Dann ist die Umkehrfunktion von $f$ die Funktion $f^{-1}$:
$f^{-1}: W \to D\quad\mbox{mit}\quad f^{-1}(y)=x,\; \mbox{wobei } y=f(x)$
Passen Definitions- und Wertebereich von $f$, so gilt:
$(f^{-1}\circ f)(x)= f^{-1}(f(x))=x $
Regeln zur Bestimmung der Umkehrfunktion:
Teste, ob $f$ umkehrbar ist, gegebenenfalls Definitionsbereich einschränken, z.B. bei $x^2$ auf $x\ge 0$
Umstellen der Funktionsgleichung $y=f(x)$ nach $x$. Man erhält $x=g(y)$
Formales Vertauschen von abhängiger und unabhängiger Variable: $f^{-1}(x)=g(x)$
Den Graphen der Funktion $f^{-1}$ erhält man durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der Gerade $y=x$.
Beispiel:
\begin{align*}
y=f(x)&=\frac{2x+3}{x-1}\\
y(x-1)&=2x+3\iff yx -y &=2x+3 \iff xy-2x &= y+3\\
x(y-2)&= y+3\iff x&=\frac{y+3}{y-2}\\
f^{-1}(x)&=\frac{x+3}{x-2}
\end{align*}
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