Berechnung des Anstiegs der Sekante (gestrichelte Gerade)
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
Dieser Quotient heißt Differenzenquotient. Wird der Abstand der Punkte $x$ und $x_0$ immer
kleiner, d.h. $\Delta x = h\to 0$, so nähern sich auch die Funktionswerte einander an und aus
der Sekante wird die Tangente. Der Anstieg der Tangente an die Funktion im Punkt
$(x_0; f(x_0))$ heißt Ableitung der Funktion an der Stelle $x_0$.
$\frac{dy}{dx}(x_0)=f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
Dieser Quotient wird auch Differentialquotient genannt und $dy$ bzw. $dx$ sind die Differentiale.
Die Ableitung einer konstanten Funktion $y=f(x)=c$ ist Null, denn
$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{c-c}{h}=0\Rightarrow\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=0$$
Die Ableitung einer linearen Funktion $y=f(x)=mx$ ist $m$, denn
$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{m(x_0+h)-mx_0}{h}=\frac{mh}{h}=m\Rightarrow\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=m$$
Betrachten Sie dazu auch folgendes Applet
Ableitung einfacher Funktionen:
\begin{align*}
\frac{d}{dx}(x^n)=(x^n)'&=n\cdot x^{n-1}\quad \mbox{fuer alle }n\ne 0\\
\frac{d}{dx}= (\sin(x))'&=\cos(x)\\
\frac{d}{dx}= (\cos(x))'&=-\sin(x)\\
\frac{d}{dx}=(e^x)'&= e^x
\end{align*}
Einfache Regeln:
\begin{align*}
(c\cdot f(x))'&=c\cdot f'(x)\tag{Multiplikation mit einer Konstanten}\\
(f(x)+g(x))'&= f'(x)+g'(x)\tag{Ableitung einer Summe}\\
(f(x)-g(x))'&= f'(x)-g'(x)\tag{Ableitung einer Differenz}
\end{align*}
Kompliziertere Regeln:
\begin{align*}
(f(x)\cdot g(x))'&= f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\tag{Produktregel}\\
\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'&= \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}\tag{Quotientenregel}
\end{align*}
Beispiele:
Kettenregel zur Ableitung einer mittelbaren (verketteten) Funktion:
\begin{align*}
[f(g(x))]' = f'(g(x))\cdot g'(x) \tag{Kettenregel}
\end{align*}
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