Das bestimmte Integral
Die Aufgabe, die Fläche $A$ zwischen dem Graphen einer im Intervall $[a,b]$ definierten
Funktion $y=f(x)$, der x-Achse $y=0$ und
den Parallelen zur y-Achse $x=a$ und $x=b$ zu berechen (schraffierte Fläche im Bild),
führt zum Begriff des bestimmten Integrals.
Bitte betrachten Sie dazu das folgende Applet.
Integration als Umkehrung der Differentiation:
$$y=f(x)\qquad {\mbox{Differentiation} \atop \longrightarrow}\qquad y=f'(x)$$
Umgekehrtes Problem: Die Aufgabe besteht darin, aus einer gegebenen Ableitung auf die
Funktion zu schließen:
$$y=f'(x)\qquad {\mbox{???} \atop \longrightarrow}\qquad y=f(x)$$
Die Stammfunktion:
Ist $y=f(x)$ in einem Intervall $[a,b]$
definiert und existiert dort eine differenzierbare Funktion $F(x)$ mit $F'(x) = f(x)$,
dann heißt $F(x)$ Stammfunktion von $f(x)$
Eine Stammfunktion $F(x)$ bezeichnet man auch mit
$$F(x)=\int f(x) dx$$
und nennt diesen Ausdruck unbestimmtes Integral.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$, so gilt:
$$\int\limits_a^b f(x)\;dx = F(b)-F(a)$$
Betrachten Sie dazu auch das folgende Applet.
Wichtigste Stammfunktionen:
\begin{eqnarray*}
\int x^n\; dx &=&\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\quad\text{fü alle } n\ne -1\\
\int a\; dx &=& \int a\cdot x^0\; dx =\frac{1}{0+1}\cdot a\cdot x^{0+1}+C= a\cdot x+C\quad\mbox{(Spezialfall von oben)}\\
\int x^{-1}\; dx &=&\int \frac{1}{x}\; dx = \ln|x|+C
\end{eqnarray*}
Beispiele:
\begin{eqnarray*}
\int x^2\; dx &=& \frac{1}{3}x^3+C\\
\int x\; dx &=&\int x^1\; dx = \frac{1}{2}x^2+C\\
\int 1\; dx &=&\int x^0\; dx = \frac{1}{1}x^1+C = x+C\\
\int \sqrt{x}\; dx &=&\int x^{\frac{1}{2}}\; dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C \\
\int \frac{1}{x^2}\; dx &=&\int x^{-2}\; dx = -x^{-1}+C=-\frac{1}{x}
\end{eqnarray*}
Damit berechnet sich die schraffierte Fläche:
$$A=\int\limits_1^2 x^2\; dx =\left[\frac{1}{3}x^3\right]_1^2 = \frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}=2,33$$
Weitere Stammfunktionen:
\begin{eqnarray*}
\int \sin(x)\; dx &=& -\cos(x)+C\\
\int \cos(x)\; dx &=&\sin(x)+C\\
\int e^x\; dx &=&e^x + C\\
\int \frac{1}{x}\; dx &=&\ln(x)+C
\end{eqnarray*}
Zu den Übungsaufgaben.