Allgemeine Form: $$ax^2+bx+c=0\qquad a\ne 0$$
Normalform (der Faktor $a$ wurde auf 1 normiert): $$x^2+px+q=0\qquad\mbox{mit }p=\frac{b}{a}, q=\frac{c}{a} $$ Lösung der Gleichung: \begin{align*} &&x^2+px+q=&0&&|\quad\mbox{quad. Ergaenzung}\\ &&\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2+q=& 0&& |\quad +\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\\ \iff&& \left(x+\frac{p}{2}\right)^2=&\left(\frac{p}{2}\right)^2-q && |\quad\sqrt{(\quad.\quad)}\\ \iff &&x_{1/2}+\frac{p}{2}=&\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}&&|\quad -\frac{p}{2}\\ \iff &&x_{1/2}=&-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\\ &&=&-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \end{align*}
Oder in der allgemeinen Form: \begin{align*} ax^2+bx+c=&0 &&|\quad:a\\ x^2+\underbrace{\frac{b}{a}}_p x+\underbrace{\frac{c}{a}}_q=&0&&|\quad\mbox{obige Formel anwenden }\\ x_{1/2}=&-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}\\ =&-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ =&\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}
Der Term unterhalb der Wurzel wird Diskriminante genannt: $D= b^2 - 4ac$ bzw. $D=\frac{p^2}{4}-q$.
Am Vorzeichen der Diskriminante kann die Anzahl der reellen Lösungen erkannt werden:
| $D>0$ zwei verschiedene reelle Lösungen $\Rightarrow$ zwei Nullstellen |  |
| $D=0$ eine reelle (doppelte) Lösung $\Rightarrow$ eine doppelte Nullstelle |  |
| $D<0$ keine reelle Lösung$\Rightarrow$ keine Nullstelle |  |
Satz von Vieta - Zerlegung in Linearfaktoren:
Hat ein Polynom zweiten Grades $f(x)=ax^2+bx +c$ zwei reelle Nullstellen $x_1$ und $x_2$, so hat es die Darstellung:
$$f(x)= ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$
Ist das Polynom in der Form $f(x)=x^2+px +q$ gegeben, so gilt:
$$f(x)=x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$$
Daraus ergibt sich der Satz von Vieta:
$$q=x_1\cdot x_2\qquad p=-(x_1+x_2)$$
Achtung: Funktioniert nur, wenn vor dem $x^2$ kein Faktor steht.
Der Satz von Vieta ist kein Lösungsverfahren, sondern erleichtert nur die Suche der Linearfaktoren, wenn beide Lösungen ganzzahlig sind.
Wenn $x_1=x_2$ spricht man auch von einer Doppellösung bzw. einer doppelten Nullstelle.
Zum nächsten Kapitel