2 Gleichungen und Ungleichungen

Kapitelübersicht:

2.1 Umformung von Gleichungen
2.2 Quadratische Gleichungen
2.3 Gleichungen höherer Ordnung und Polynomdivision
2.4 Gleichungen und Wurzeln
2.5 Ungleichungen
2.6 Übungen


2.3 Gleichungen höherer Ordnung und Polynomdivision

Allgemeine Form von Gleichungen höherer Ordnung:

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x^1 + a_0 = 0, \quad \mbox{wobei} \quad a_n \ne 0, n\ge3$$ Die Gleichung besitzt höchstens n reelle Lösungen. Ist n ungerade, so existiert mindestens eine reelle Lösung.

Beispiel:
Gleichung 3. Grades: $$x^3+a_2x^2+a_1 x+a_0=0$$ Für die Nullstellen einer Gleichung 3. Grades gibt es also folgende Fälle:

  • 3 verschiedene reelle Nullstellen $x_1,x_2,x_3$

  • Eine reelle Nullstelle $x_1$ und eine weitere davon verschiedene doppelte Nullstelle $x_2=x_3$

  • Eine dreifache Nullstelle $x_1=x_2=x_3$

  • Nur eine reelle Nullstelle $x_1$


    • Grafik Gleichung 3. Grades


    Für Gleichungen bis einschließlich 4. Grades lassen sich allgemeine Formelausdrücke zur Berechnung der Lösungen herleiten.
    In der Praxis sind diese Formeln meist schwerfällig, so dass man in der Regel auf andere Verfahren ausweicht.

    Polynomdivision:
    Ist eine Lösung bekannt, so kann die Gleichung $n$-ten Gerades auf eine Gleichung vom Grade $n-1$ reduziert werden.
    Beispiel:$$x^3-3x^2-4x +12 =0$$ hat z.B. die Nullstelle $x_1=2$ \begin{eqnarray*} (x^3-3x^2-4x +12)&:&(x-2) = x^2-x-6\\ \underline{x^3-2x^2\qquad\qquad\quad}&&\\ -x^2-4x+12&&\\ \underline{-x^2+2x\qquad\;}&&\\ -6x+12\\ \underline{-6x+12} \end{eqnarray*} Damit muss jetzt nur noch die quadratische Gleichung $x^2-x-6=0$ gelöst werden.


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