Eine Ungleichung ist eine Aussage der Form:
$ A < B $ bzw. $ A > B $
Zu ihnen zählen auch die Relationen:
$A\le B $ bzw. $A\ge B$
Die Lösung einer oder mehrerer Ungleichungen sind in der Regel Intervalle.
Schreibweise für die wichtigsten Intervalle:
1. Endliche Intervalle $ a < b $:
\begin{align*}
[a,b] &=\{x\;|\quad a\le x\le b\}\tag{abgeschlossenes Intervall}\\
[a,b) = [a,b[ &=\{x\;|\quad a\le x < b\}\tag{halboffenes Intervall}\\
(a,b] = ]a,b] &=\{x\;|\quad a< x \le b\}\tag{halboffenes Intervall}\\
(a,b) = ]a,b[ &=\{x\;|\quad a< x < b\} \tag{offenes Intervall}
\end{align*}
2. Unendliche Intervalle:
\begin{align*}
[a,\infty) &= \{x\;|\quad a\le x < \infty\}\\
(a,\infty) &= \{x\;|\quad a < x < \infty\}\\
(-\infty,b] &= \{x\;|\quad -\infty < x \le b\}\\
(-\infty,b) &= \{x\;|\quad -\infty < x < b\}\\
(-\infty ,0)&= \mathbb{R}^-=\mathbb{R}_-\\
(0,\infty)&= \mathbb{R}^+=\mathbb{R}_+\\
(-\infty ,\infty)&= \mathbb{R}
\end{align*}
Äquivalente Umformungen einer Ungleichung:
Die Lösungsmenge einer Ungleichung bleibt bei Anwendung folgender Operationen unverändert:
Produkt und Quotient zweier reeller Zahlen sind genau dann positiv, wenn beide Zahlen dasselbe Vorzeichen haben. Sie sind negativ, wenn beide Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben. \begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{ccc}a\cdot b & > & 0\\ \frac{a}{b} & > & 0 \end{array}\right\} &\iff& (a>0\;\mbox{und}\;b>0)\quad\mbox{oder}\quad(a<0\;\mbox{und}\;b<0)\\[0.3cm] \left.\begin{array}{ccc}a\cdot b & < & 0\\ \frac{a}{b} & < & 0 \end{array}\right\} &\iff& (a>0\;\mbox{und}\;b<0)\quad\mbox{oder}\quad(a<0\;\mbox{und}\;b>0) \end{eqnarray*}
Hier ist eine graphische Darstellung auf der Zahlengerade hilfreich.
Multipliziert man eine Ungleichung mit einem Term, in dem eine Variable vorkommt, muss
beachtet werden, dass der Term positive und negative Werte annehmen kann, sich somit
eventuell das Relationszeichen umdreht. Das ist nur mit Hilfe einer Fallunterscheidung
lösbar.
\begin{eqnarray*}
\frac{3x-1}{2x+4} & < & 2\quad 2x+4\ne 0\iff x\ne -2\\
\mbox{1. Fall: } x > -2 &\Rightarrow & 3x-1 < 2(2x+4)\quad \mbox{da: }2x+4 > 0\\
&\iff & 3x-1 < 4x+8\iff -9 < x\\
L_1&=&(-2,\infty)\cap(-9,\infty)=(-2,\infty)\\
\mbox{2. Fall: } x < -2 &\Rightarrow & 3x-1 > 2(2x+4)\quad \mbox{da: }2x+4 < 0\\
&\iff & 3x-1 > 4x+8\iff -9 > x\\
L_2&=&(-\infty,-2)\cap(-\infty,-9)=(-\infty,-9)\\
L=&=&L_1\cup L_2=(-\infty,-9)\cup(-2,\infty)
\end{eqnarray*}
Quadratische Ungleichungen:
\begin{eqnarray*}
-2x^2 +9x-4&<&0\\
\iff x^2-\frac{9}{2}x+2 &>&0\\
x^2-\frac{9}{2}x+2 =0 &\iff& x_1=4,\quad x_2=\frac{1}{2}\\
x^2-\frac{9}{2}x+2 >0
&\iff&\left(x-4\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)>0\\
&\iff& x>4\quad\mbox{und}\quad x>\frac{1}{2}\quad\mbox{also: } x>4\\
&\mbox{oder}&x<4\quad\mbox{und}\quad x<\frac{1}{2}\quad\mbox{also: } x<\frac{1}{2}\\
L&=&\left(-\infty,\frac{1}{2}\right)\cup(4,\infty)
\end{eqnarray*}
So eine Ungleichung lässt sich auch anhand des Kurvenverlaufs der entsprechenden quadratischen
Funktion lösen:
So ist $f(x)=-2x^2+9x-4$ eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen $x_1=4$ und $x_2=\frac{1}{2}$.
Negative Funktionswerte $f(x)<0$ ergeben sich also für alle $x$ außerhalb des Intervalls zwischen den Nullstellen $x\notin\left[\frac{1}{2},4\right]$.
Zu den Übungsaufgaben.