Definition:
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Skalar (d.h. eine Zahl, kein Vektor).
$$\vec{a}\cdot \vec{b}= \left(\begin{array}{c} a_x\\a_y\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}b_x\\b_y\end{array}\right) =a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y$$
Alternative:
$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\|\vec{a}\|\cdot \|\vec{b}\|\cos\varphi$$
Dabei ist $\varphi$ der von den Vektoren eingeschlossene Winkel.
Anwendung des Skalarprodukts: Winkelberechnung
$$\cos\varphi=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\cdot \|\vec{b}\|}$$
Wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist das Skalarprodukt = 0 und umgekehrt.
Eigenschaften des Skalarprodukts:
\begin{eqnarray*}
\vec{a}\cdot \vec{b} &=&\vec{b}\cdot \vec{a}\\
\vec{a}\cdot \left(\vec{b}+\vec{c}\right)&=& \vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}\\
\vec{a}\cdot \vec{a}&=&\|\vec{a}\|^2
\end{eqnarray*}
Alle Definitionen und Rechenregeln lassen sich in das Dreidimensionale übertragen.
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