Kreis um den Koordinatenursprung mit Radius $r=1$:
Ein Punkt $P(x;y)$ liegt auf einem Kreis mit dem Radius $r=1$
um den Punkt $(0;0)$, wenn er wie folgt dargestellt werden kann:
$$\left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} \cos \varphi \\ \sin\varphi \end{array}\right),\qquad \varphi\in[0,2\pi]$$
Kreis um den Koordinatenursprung mit Radius $r$ beliebig:
Ein Punkt $P(x;y)$ liegt auf einem Kreis mit dem Radius r
um den Punkt $(0;0)$, wenn er wie folgt dargestellt werden kann:
$$\left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)= r\cdot \left(\begin{array}{c} \cos \varphi \\ \sin\varphi \end{array}\right),\qquad \varphi\in[0,2\pi]$$
Allgemeiner Kreis in Vektordarstellung:
Ein Punkt $P(x;y)$ liegt auf einem Kreis mit dem Radius r um den Punkt $(x_M;y_M)$,
wenn er wie folgt dargestellt werden kann:
$$\left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} x_M\\ y_M\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c} \cos \varphi \\ \sin\varphi \end{array}\right),\qquad \varphi\in[0,2\pi]$$
Umrechnunung in nichtvektorielle Form:
Mittelpunkt im Ursprung:
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)&=& r\cdot \left(\begin{array}{c} \cos \varphi \\ \sin\varphi
\end{array}\right)\\
x&=& r\cos\varphi\qquad y=r\sin\varphi\\
x^2+y^2&=&(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi^2)=r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi=r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r^2\\
x^2+y^2&=&r^2
\end{eqnarray*}
Mittelpunkt beliebig:
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{c} x_M\\ y_M\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c} \cos \varphi \\ \sin\varphi\end{array}\right)\\
\left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)-
\left(\begin{array}{c} x_M\\ y_M\end{array}\right)&=& r\cdot \left(\begin{array}{c} \cos \varphi \\ \sin\varphi
\end{array}\right)\\
x-x_M&=&r\cos\varphi\qquad y-y_M=r\sin\varphi\\
(x-x_M)^2+(y-y_M)^2&=&r^2
\end{eqnarray*}
Zu den Übungsaufgaben.