Die Sinusfunktion:
Die Kosinusfunktion:
Betrachten Sie dazu auch die beiden Applets
Definition der Sinusfunktion
und
Definition der Kosinusfunktion
Wichtige Eigenschaften:
\begin{eqnarray*}
(\sin(\alpha))^2+(\cos(\alpha))^2&=&1\quad\mbox{bzw.}\quad
\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) =1\\
\sin(\alpha+2\pi)&=&\sin(\alpha)\qquad\cos(\alpha+2\pi)=\cos(\alpha)\qquad\mbox{Periode $2\pi$}\\
\sin(-\alpha)&=&-\sin(\alpha)\\
\cos(-\alpha)&=&\cos(\alpha)\\
\sin\left(\alpha +\frac{\pi}{2}\right)&=&\cos(\alpha)\quad\mbox{Sinus nach links verschieben ergibt Kosinus}\\
\cos\left(\alpha -\frac{\pi}{2}\right)&=&\sin(\alpha)\quad\mbox{Kosinus nach rechts verschieben ergibt Sinus}
\end{eqnarray*}
Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion gehen durch Verschiebung entlang der x-Achse auseinander hervor.
Betrachten Sie dazu folgendes Applet.
Die Schreibweise $\sin^2 x$ bedeutet:
$$\sin^2(x)=(\sin x)^2\quad \mbox{nicht}\quad \sin^2(x)\ne \sin(x^2)$$
Die Schreibweise wurde eingeführt, um Klammern zu sparen.
Tangensfunktion und Kotangesfunktion:
\begin{eqnarray*}
\tan\alpha &=&\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\qquad \mbox{nicht definiert wenn} \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\\
{\rm cot}\,\alpha &=&\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\tan\alpha}\qquad \mbox{nicht definiert wenn } \alpha=k\pi, k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}
Achtung: Die Kotangensfunktion ist nicht die Umkehrfunktion der Tangensfunktion!
Die Umkehrfunktion ist der Arkustangens $\arctan(x)\ne \frac{1}{\tan(x)}$ (auch wenn auf dem Taschenrechner $\tan^{-1}$ für
die Umkehrfunktion steht, damit ist arctan gemeint).
Die Vorzeichen der Winkfelfunktionen:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& \mbox{ 1. Quadrant} & \mbox {2. Quadrant} & \mbox{3. Quadrant} & \mbox{4. Quadrant}\\
&\left(0,\frac{\pi}{2}\right) &\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)
&\left(\pi,\frac{3}{2}\pi\right)
&\left(\frac{3}{2}\pi,2\pi\right)\\
\hline
\sin\alpha & + & + & - & -\\
\cos\alpha & + & - & - & +\\
\tan\alpha & + & - & + & -\\
{\rm cot}\,\alpha & + & - & + & -\\
\hline
\end{array}
$$
Einige spezielle Werte für die Winkelfunktionen:
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& \sin\alpha & \cos\alpha & \tan\alpha & {\rm cot}\,\alpha\\
\hline
0=0^{\circ} & \frac{1}{2}\sqrt{0}=0 & \frac{1}{2}\sqrt{4}=1 & 0 & \mbox{nicht definiert}\\[0.2cm]
\frac{\pi}{6}=30^{\circ} & \frac{1}{2}\sqrt{1}=\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3} & \sqrt{3}\\[0.2cm]
\frac{\pi}{4}=45^{\circ} & \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} & 1 & 1\\[0.2cm]
\frac{\pi}{3}=60^{\circ} & \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2}\sqrt{1}=\frac{1}{2} &\sqrt{3} & \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}\\[0.2cm]
\frac{\pi}{2}=90^{\circ} & \frac{1}{2}\sqrt{4}=1 & \frac{1}{2}\sqrt{0}=0 & \mbox{nicht definiert} & 0\\[0.2cm]
\hline
\end{array}
$$
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