Unter der $n$-ten Potenz einer beliebigen reellen Zahl $a$ versteht man das $n$-fache Produkt von $a$ mit sich selbst.
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{\mbox{$n$-Faktoren}}$$
dabei ist: $n\in\mathbb{N}, n>0$ und $a$ die Basis.
Für $n=0$ gilt: $$a^0=1$$
Einfache Rechenregeln und Potenzgesetze:
\begin{eqnarray*}
a^n\cdot b^n &=& (a\cdot b)^n\\
a^n:b^n &=& \left(\frac{a}{b}\right)^n; \qquad (b\ne 0)\\
a^n\cdot a^m &=& a^{n+m}\\
a^n: a^m &=& \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \\
(a^n)^m &=& a^{n\cdot m}\\
\end{eqnarray*}
Vorsicht: $a^{n^m}\ne a^{n\cdot m}$, denn $a^{n^m}= a^{(n^m)}$. Zum Beispiel ist mit $x=3$: $$2^{x^2}=2^{3^2}=2^9=512\quad\mbox{aber}\quad \left(2^x\right)^2=\left(2^3\right)^2=8^2=64$$
Negative Exponenten: $$a^{-n}:=\frac{1}{a^n},\qquad n\in\mathbb{N}; a\ne 0$$
Wurzeln:
Die $n$-te Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl $a$ ist diejenige nichtnegative Zahl $b$, für die gilt:
$$b^n=a$$
Man schreibt: $$b=\sqrt[n]{a}\quad\mbox{ mit }\quad n\in\mathbb{N}, n\ne 0\quad\mbox{ und }\quad a,b\ge 0$$
Schreibweise als Potenz: $$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\quad\mbox{bzw.}\quad \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m $$
Durch die Umformung erkennt man, dass es sich bei der Wurzel auch um eine Potenz handelt. Hieraus folgt, dass die normalen Potenzgesetze ihre Gültigkeit haben:
\begin{eqnarray*}
\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}&=&\sqrt[n]{ab}\\
\sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}&=&\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\
\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[m]{a}&=&a^{\frac{1}{n}}\cdot a^{\frac{1}{m}}=a^{\frac{m+n}{n\cdot m}}=\sqrt[n\cdot m]{a^{n+m}}\\
\sqrt[n]{a}&=&a^{\frac{1}{n}}\quad\mbox{bzw.}\quad \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m
\end{eqnarray*}
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