Das Summenzeichen ist nur eine Abkürzung für Summen mit einer großen bzw. unbestimmten Anzahl von Summanden: $$\sum\limits_{i=1}^{10} a_i := a_1+a_2+\ldots+a_9+a_{10}\;\mbox{bzw. } \sum\limits_{i=1}^n a_i := a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n \;\mbox{bzw. } \sum\limits_{i=k}^n a_i := a_k+a_{k+1}+\ldots+a_{n-1}+a_n$$
Der Index $i$ ist der sogenannte Summationsindex, hier könnte jeder Buchstabe stehen, der nicht schon für die Grenzen verbraucht ist. D.h. $$\sum\limits_{i=1}^{10} a_i = a_1+a_2+\ldots+a_9+a_{10}= \sum\limits_{k=1}^{10} a_k =\sum\limits_{j=1}^{10} a_j\quad \mbox{usw.}$$
Unter dem Summenzeichen steht der Startindex und oben steht der letzte Index. Zur Berechnung werden für den Summationsindex alle ganzen Zahlen zwischen unterer und oberer Grenze eingesetzt.
Indexverschiebungen: $$\sum\limits_{i=k}^n a_i =\sum\limits_{i=k+a}^{n+a}a_{i-a}\quad \mbox{bzw.}\quad\sum\limits_{i=k}^n a_i =\sum\limits_{i=k-a}^{n-a}a_{i+a}$$
Konstanten: $$\sum\limits_{i=1}^n 1 = \underbrace{1+1+\ldots +1}_{\mbox{$n$-Summanden}}=n\quad\mbox{allgemein: }\sum\limits_{i=k}^n 1 = n-k+1$$
Rechenregeln:
\begin{eqnarray*}
\sum\limits_{i=1}^n (a_i+b_i) &=&\sum\limits_{i=1}^n a_i+\sum\limits_{i=1}^n b_i\\
\sum\limits_{i=1}^n (c\cdot a_i) &=&c\sum\limits_{i=1}^n a_i\\
\sum\limits_{i=1}^n (c\cdot a_i+d) &=&c\sum\limits_{i=1}^n a_i+\sum\limits_{i=1}^n d=c\sum\limits_{i=1}^n a_i+n\cdot d
\end{eqnarray*}
Summen von Summen - geschachtelte Summenzeichen:
$$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_{ij}:= \sum\limits_{j=1}^m a_{1j}+\sum\limits_{j=1}^m a_{2j}+\ldots+\sum\limits_{j=1}^m a_{nj}$$
Die Grenzen der inneren Summe dürfen vom äußeren Summationsindex abhängig sein, aber nicht umgekehrt.
Zu den Übungsaufgaben.